Schémas volumes finis pour une classe d’équations de type Convection-diffusion Issues des milieux poreux

Abstract

Dans ce travail, nous avons développé des méthodes numériques performantes pour des modèles d’écoulements diphasiques incompressibles et immiscibles en milieux poreux hétérogènes et anisotropes, ayant des applications dans des problèmes de la récupération secondaire du pétrole. Nous avons traité et analysé trois familles de schémas volumes finis (explicite implicite et semi-implicite). Après avoir établi que les schémas sont L∞ et BV stables, sous les conditions CFL appropriées et satisfont le principe du maximum discret, on obtient des résultats de convergence, vers la solution faible du problème, et dans L1 pour des maillages réguliers en 1-D et 2-D, et dans L2 pour des maillages non structurés en dimension multiple, ceci en introduisant une technique du maillage adéquate permettant de préserver le principe du maximum discret sur des maillages déstructurés. Des résultats numériques en 1-D confirment la stabilité des schémas numériques proposés et l’efficacité du schéma semi-implicite en temps de calcul (C.P.U.). En dimension deux, les résultats numériques obtenus montrent que la méthode des volumes finis est adaptée à la discrétisation de ce problème. Les solutions approchées calculées satisfont le principe du maximum discret et sont monotones. De plus les hétérogénéités anisotropes du milieu poreux sont prises d’une manière efficace. En outre, les schémas volumes finis semi-implicite et implicite donnent un meilleur temps de calcul par rapport au schéma explicite.