Quelques préservations non nécessairement linéaires de certaines identités spectrales

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à quelques problèmes de préservation linéaires et non linéaires. Soient Mn l’algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients complexes et 0 un vecteur non nul dans Cn. Dans le chapitre 2, nous caractérisons les applications linéaires unitaires ϕ : Mn→Mn préservant le rayon spectral local intérieur nul en x0 : σT(x0)=0 ⟺ σϕ(T)(x0)=0pour tout T∈ Mn. Soient H un espace de Hilbert complexe de dimension supérieure ou égale à 3 et B(H) l’algèbre de tous les opérateurs linéaires bornés sur H. Dans le chapitre 3, nous étudions les applications surjectives (non nécessairement additives ni unitaires) ϕ : B(H)→B(H) satisfaisant F(ϕ(A)∗ϕ(B))=F(A∗B)pour tous A,B∈B(H), où F(A) désigne R(A) ou N(A), et où A∗B est l’une des relations binaires suivantes : A∗B, AB∗A, où A,B∈B(H). Soient X un espace de Banach, B(X) l’algèbre de tous les opérateurs linéaires bornés sur X, et XT({λ}) le sous-espace spectral local de T en {λ}⊂C . Dans le chapitre 4, nous déterminons les formes des applications surjectives (non nécessairement additives ni unitaires) ϕ : B(X)→B(X) qui préservent le sous-espace spectral local du produit, du triple produit ou du produit de Jordan des opérateurs associés à λ, c’est-à-dire :Xϕ(A)∗ϕ(B)({λ})=XA∗B({λ}),où A∗B est l’une des relations binaires suivantes : le produit AB, le produit triple ABA ou le produit de Jordan AB+BA.