Les polynomes de Faber et La fonction τ pour les courbes analytiques

Abstract

Les dérivées secondes de la fonction t pour les courbes analytiques sont les coefficients du développement en série de Taylor de la fonction de Green et résolvent le problème de Dirichlet. Nous montrons que les dérivés secondes de la fonction t sont reliées aux polynômes de Faber, à la fonction tKP de la hiérarchie KP, à la métrique hyperbolique et à la capacité logarithmique. On obtient des expressions explicites de la fonction t pour les courbes analytiques, de la fonction de Green et du noyau de Bergman. Finalement, on donne une formule explicite de la densité hyperbolique de rectangle au voisinage de son centre. On retrouve ainsi certains résultats de A.F. Beardon et on met en évidence une relation entre la densité hyperbolique du rectangle et sa capacité logarithmique.