Sections vectorielles du cube et d'autres boules unité de IRN

Abstract

Le premier objet de ce travail est une majoration de la mesure du volume des sections du cube de IRⁿ, par des sous-espaces de codimension K. Le cas des hyperplans a été traité par K. Ball. Nous améliorons la majoration naturelle obtenue dans le cas général quand 2K ≤ n. La méthode consiste à étendre celle de K. Ball, pas transformation de Fourier et conclure par un calcul de déterminant. L’étude de quelques exemples suggère que si 2K ≤ n, la majoration est √2K. Nous étudions ensuite les sections d’une boule B, de volume 1, isotrope, c'est-à-dire que la matrice d’inertie est scalaire. Si on note L²B le coefficient diagonal de cette matrice, D. Hensley et K. Ball ont démontré que pour tout sous-espace F, de codimension K a ≤ LKB mesure (F ∩ B) ≤ bK.

Nous étudions alors la conjecture selon laquelle LB serait borné par une constante universelle. Nous donnons différentes assertions équivalentes à cette conjecture (par exemple : ∃α 0 : n, B boule, de volume 1, de IRⁿ, ∃ H, hyperplan tel que mesure (B ∩ H) > α). Nous démontrons que certaines catégories de boules, présentant des propriétés géométriques particulières vérifiant cette conjecture. Enfin, nous évaluerons la valeur de LB pour certains espèces classiques : ℓPn, CPn ; espaces des opérateurs T de IRⁿ dans IRⁿ, muni de la norme (ⁿ∑i=1Pi1/p où les (i) sont les valeurs propres de module de T.