Une approche de décomposition de domaine combinée aux volumes finis : Applications à des problèmes élliptiques et paraboliques

Abstract

L’objectif de cette de thèse est de proposer et étudier des algorithmes combinant une méthode de décomposition de domaine (MDD) et les schéma volumes finis (VF). Nous avons appliqué ces algorithmes à la résolution des équations elliptiques et paraboliques linéaires et semi linéaires. Ces équations modélisent plusieurs problèmes dans différents domaines des sciences appliquées tels que la mécanique des fluides, l’environnement, la bio-mathématique . . . etc. On a, dans un premier temps, développé un algorithme "FV-SC" combinant le schéma VF classique "cell-centred" et la MDD de type "Complément de Schur". Nous avons appliqué cet algorithme à un problème de convection diffusion linéaire non stationnaire. Plusieurs tests numériques montrent que l’algorithme possède les propriétés de stabilité et de convergence, il présente l’avantage d’être parallélisable et permet une amélioration au niveau de la précision en augmentant le nombre de sous-domaines. Ensuite, nous avons proposé un deuxième algorithme "FV-SC" généralisé à un problème non stationnaire de convection diffusion semi-linéaire. Des tests numériques, appliqués à l’équation de Burgers, ont montré que cet algorithme conserve les propriétés de stabilité, de convergence ainsi que la précision en augmentant le nombre de sous-domaines. On a ensuite proposé un troisième algorithme "FV-SC" généralisé cette fois-ci à un problème non stationnaire de réaction diffusion semi-linéaire. Nous avons validé l’algorithme proposé par comparaison à la méthode des éléments finis. Les expériences numériques montrent que la méthode proposée converge vers la solution obtenue par la méthode des éléments finis, avec un gain au niveau de la précision et du temps de calcul CPU en augmentant le nombre de sous-domaines. Enfin, on a étudié théoriquement la convergence de la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume) appliquée à un problème de diffusion anisotrope pour une condition au bord de type Dirichlet. Cette méthode permet de définir naturellement un gradient discret sur des maillages très généraux, ne vérifiant pas nécessairement la condition d’orthogonalité classique des maillages volumes finis et basée sur une correspondance entre le maillage primal et le maillage dual. La méthode DDFV permet de construire un nouveau algorithme DDFV-SC basé sur la technique de complément de Schur sous sa version algébrique. Des expériences numériques, sur des exemples analytiques, illustrent les résultats théoriques de convergence de l’algorithme DDFV et montrent la convergence de l’algorithme DDFV-SC vers la solution exacte pour des coefficients de diffusion continus et discontinus.