Etude de quelques problemes elliptiques et paraboliques non lineaires dans un cadre non variationnel

Abstract

Le contenu de cette th`ese est constitu´e de deux parties. La premi`ere partie est consacr´ee aux r´esultats d’existence de solution minimale (maximale) pour certains probl`emes elliptiques non lin`eaires. Dans le premier chapitre,nous pr´esentons des rappels et des outils math´ematiques n´ecessaires dont nous allons nous servir ult´erieurement. Dans le deuxi`eme chapitre, on ´etablit un r´esultat d’existence de solution renormalis´ee minimale et maximale pour un probl´eme elliptique pseudo-monotone de la forme suivante :

−div(a(x, u, ∇u)) = f in Ω, u = u0 in ∂Ω.

(0.0.1)

f est dans L1(Ω), u0 est une fonction dans W 1, p(Ω, w). Ce travail a ´et´e soumis. Pour le troisi`eme chapitre, on d´emontre un r´esultat d’existence et de r´egularit´e de minimum pour une fonctionelle integrale dont le prototype est :

J(u) = Ω

|∇u|p (1 + |u|)αp

r F.∇u dx, u ∈ W 1,p(Ω)

J(u) = Ω

a(x, u)|∇u| dx − r

F.u dx, u ∈ W0 (Ω)

ou`

Ω est un domaine born´e de RN , p > 1 et α > 0. La fonction F appartient ´a un certain

espace de Lebesgue . Ce travail a ´et´e soumis.

Dans le chapitre 4, on s’est interess´e `a prouver un r´esultat d’existence et de r´egularit´e de minimum pour une fonctionelle d´efinie sur W 1,p(RN ) (1 < p < N, N 2) a` valeur dans R, par :

J(v) =

rRN

|∇v|p + |v|p (a(x) + |v|)αp

rRN

f.|v|

dx, v ∈ W

1,p

(RN

) (0.0.2)

pour un certain nombre r´eel α tel que :

p m 0 < α < p

(0.0.3)

Ce travail a ´et´e soumis.

Dans la deuxi`eme partie, on s’est interess´e a` l’´etude de probl`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires de type paraboliques faisant intervenir un op´erateur du type Leray- Lions avec des donn´ees peu r´eguli`eres. Ce type de probl`eme est trait´e dans la litt´erature g´en´eralement lorsque les donn´ees sont des

fonctions L1 : Notre ´etude est port´ee sur le cas ou` LpI (0, T ; W−1,pI (Ω))

les donn´ees sont dans L1 ou L1(Q) +

Dans le chapitre 5, nous ´etudions le probl`eme unilateral suivant dans l’espace de Sobolev classique :

∂b(x, u)

u ≥ ψ a.e. in Ω × (0, T ),

∂t − div(a(x, t, u, Du)) + H(x, t, u, Du) = f in Ω × (0, T ), b(x, u)(t = 0) = b(x, u0) in Ω, u = 0 on ∂Ω × (0, T ).

(0.0.4)

On montre l’existence de solution dite solution entropique unilateral en utilisant une m´e- thode de penalisation, sans condition de signe et de coercivit´e sur H(x, t, u, Du). H satisfait une condition de croissance par rapport a` Du et non plus par rapport `a u, b(x, u) est une fonction non born´ee, et f est dans L1(Q) et u0 ∈ L1(Ω).

Ce travait a a ´et´e publi´e au : International Journal of Mathematics and Statistics, 2012 (voir [8]) Dans le chapitre 6, nous ´etablissons un r´esultat d’existence de solution renormalis´ee pour un syst`eme de deux ´equations paraboliques de type :

∂b1(x,u1) div a(x, t, u , Du ) + div Φ (u ) + f (x, u , u ) = 0 in Q, ∂b2(x,u2) − div (a(x, t, u2, Du2) + div (Φ2(u2) + f2(x, u1, u2) = 0 in Q.

dans un espace de sobolev avec poids. bi(x, u) est une fonction non born´ee, la fonction de Carath´eodory ai satisfait la condition de coer- civit´e , condition de croissance naturelle et la monotonie large , la fonction φi est suppos´e continu

dans R et n’appartient pas au (L1 est une function de Carath´eodory.

(Q))N ,nous supposons que pour i = 1, 2, fi : Ω × R × R → R

Ce travait a ´et´e publi´e au : International Journal of Research and Reviews in Applied Sciences (voir [7])