Modélisation stochastique : Contributions en analyse discriminante et à l'étude du comportement des systèmes Markoviens

Abstract

Cette thèse est composée de deux parties différentes qui reposent sur l’utilisation de modèles stochastiques. Dans la première partie intitulée discrimination, nous présentons d’abord des généralités sur l’analyse discriminante, nous étudions ensuite différents types de régularisations que nous unifions en trois approches : régularisation aveugle (RDA), régularisation réfléchie (EDDA) et régularisation bayésienne. Nous proposons également une étude numérique comparative de différents modèles graphiques dans le cadre de discrimination sur variables qualitatives. En plus des modèles graphiques classiques, nous proposons de nouvelles versions, de ces modèles, basées sur l’utilisation de chaînes de Markov homogènes (CMH). Notre étude numérique montre que le modèle d’indépendance conditionnelle (MIC) est globalement un modèle de référence malgré sa simplicité et que certains des modèles proposés se comportent aussi bien dans beaucoup de situations. En s’inspirant de la méthode RDA, nous proposons un modèle logistique régularisé (MLR) dépendant de deux paramètres (complexité et rétrécissement), qui fournit de bons résultats dans le cas qualitative. Nous terminons cette partie par une étude sur l’estimation des proportions et nous prouvons des résultats de convergence presque sûre, en moyenne quadratique, et en lois dans le cas qualitative. Nous terminons cette partie par une étude sur l’estimation des proportions dans le cas de discrimination sur variables mixtes. Nous donnons un algorithme d’estimation des proportions et nous prouvons des résultats de convergence presque sûre, en moyenne quadratique, et en lois. Dans la seconde partie, nous étudions la simulation des mesures de performance transitoires et stationnaires des systèmes qui peuvent être modélisés par des CMH. Dans le cas des systèmes complexes ou raides, nous proposons deux algorithmes qui réduisent le temps de simulation de manière significative. Nous proposons aussi un algorithme (et une version bootstrap) qui permet d’estimer, en même temps, toutes les composantes de la distribution stationnaire d’une CMH. En fin de cette partie, nous proposons deux applications importantes des noyaux markoviens lipschitziens : une sur la mécanise statistique d’un gaz et l’autre sur l’existence et le mélange fort d’une mesure. Ces deux applications sont basées sur le théorème spectral de Ionescu-Tulcea et Marinescu.