Actions bi-hamiltoniennes et star-produits sur une variété bi-hamiltonienne

Abstract

Dans le premier chapitre nous étudions l’action hamiltonienne d’un groupe de Lie G sur une variété de Jacobi (M, Λ, E) en donnant des exemples d’actions admettant des applications moments coadjoints équivariants. Dans le second chapitre, nous étudions l’action d’un groupe de Li G, connexe sur une variété bi-hamiltonienne de (M, Λ̃, Λ̃). L’homomorphisme R = #̃ #⁻¹ : TM → TM associé à la structure (M, Λ, Λ̃) est un opérateur de récursion pour les systèmes dynamiques dx/dt = XM(x) où XM est un champ fondamentale de l’action de G sur (M Λ, Λ̃). Le dernier chapitre est consacré à l’étude des*-produits sur la variété bi-hamiltonienne (M, Λ, Λ̃). Après avoir donné un théorème d’existence, nous déterminons un lien entre les *-produits d’un point sur (M, Λ, Λ̃), (M, Λ) et d’autre part sur (M, Λ̃) dans un cas particulier de structures bi-hamiltonienne que nous appelons C-tangentiellement exacte. Enfin nous considérons une variété de Poisson régulière tangentiellement exacte et nous donnons une condition d’existence de *-produits tangentiels invariants par l’action d’un groupe de Lie.