On the generalized backward doubly stochastic differential equations and their applications to semilinear stochastic partial differential equations

Abstract

Cette thèse se compose de deux parties. La première partie est consacrée à l’étude d’existence des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) sous des conditions plus faibles que la condition de Lipschitz dans le cas unidimensionnel. Dans un premier temps, nous prouvons un résultat d’existence pour une EDSR unidimensionnel avec un coefficient continu à gauche et croissant. Dans un second, nous donnons un résultat d’existence pour une EDSR généralisée qui implique le temps local de la solution. De plus, les coefficients sont assumés seulement continu. En particulier, notre résultat fournit une représentation probabiliste des solutions de viscosité d’une classe d’EDP non linéaires avec des conditions de type Neumann. Enfin, nous étudions le lien entre les solutions des EDS progressives régressives découplées et les solutions faibles d’un système d’EDP quasi-linéaires sous les conditions sur le générateur affaiblies par rapport aux résultats existants. Dans la deuxième partie, nous présentons de nouveaux résultats dans la théorie des équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR) et donnons des applications aux équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). D’abord, sous la condition de Lipshitz sur les coefficients nous établissons l’existence et l’unicité pour une EDDSR généralisée. Ensuite, en utilisant les techniques de Buckdahn-Ma (2001), nous donnons une représentation probabiliste pour la solution de viscosité stochastique d’une EDPS avec des conditions de type Neumann. Finalement, nous prouvons, par l’intermédiaire de l’approximation de Yosida, l’existence et l’unicité de solution d’une EDDSR qui implique un opérateur du sous différentiel. En utilisant la transformation de Doss-Sussman, nous donnons un résultat d’existence de la solution viscosité stochastique d’une EDPS multivoque.