Capitulation des 2-classes d'idéaux de certains corps quartiques de type (2,2)

Abstract

Dans ce travail, nous nous proposons d’étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de certains corps quartiques cycliques. Ainsi, notre travail est constitué de quatre parties. Dans le premier chapitre nous rappelons certains résultats préliminaires qu’on utilisé dans la suite, aussi nous donnons un petit historique sur le problème de capitulation. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à la structure du 2-groupe de classes de certains corps quartiques. Soient K = k (√-nε√) ou ε est l’unité fondamentale de k = Q(√l) avec l un nombre premier congru a 1 ou 2 modulo 4 et n un entier naturel relativement premier à l et sans facteurs carrés, en se basant sur les deux travaux faites par E. Brown et C. J. Parry en 1977 et 1978 [19] et [20], on donne les conditions nécessaires et suffisantes sur n pour que le 2-groupe de classes de K , C₂,k, sera de type (2,2) ou de type (2,4). Dans le troisième chapitre on détermine un système fondamental d’unités de certains corps de degré 4 ou 8 sur Q, et ceci dans le but de déterminer le nombres des 2-classes d’idéaux des corps K étudiés dans cette thèse qui capitulent dans les sous-corps quadratiques de l’extension K₂⁽¹⁾/K où K₂⁽¹⁾ est le 2-corps de classes de Hilbert de K. Le quatrième chapitre est consacré à l’étude du problème de la capitulation. Soient l un nombre premier congru a 1 ou 2 modulo 4, l’unité fondamentale de k = Q(l) et K = k (√-nε√) où n est un entier naturel sans facteurs carrés tel que C₂,k soit de type (2,2), alors nous étudions la capitulation des 2-classes d’idéaux de ces corps K, nous définissons la structure du groupe de Galois G de K₂⁽²⁾/K₂⁽²⁾ où K est le deuxième 2-corps de classes de Hilbert de K, et nous donnons à la fin quelques exemples numériques.