Rayon de convergence générique des équations différentielles à coefficients polynomiaux sur un corps de nombres : Applications aux G-opérateurs et E-opérateurs

Abstract

La fonction ‘’Rayon de convergence génétique‘’ R(M, r) ; (r > 0 ) d’un module différentiel p-adique M introduite par Dwork-Robba a joué un rôle fondamental dans le développement de la théorie des équations différentielles p-adiques ainsi que dans ses applications arithmétiques et géométriques. Le calcul de R(M, r) est en général très difficile. Cependant, lorsque M est un k(x)-module différentiel (où k est un corps de nombres) les résultats de Christol-Dwork. Pons et Remmal décrivant les propriétés de cette fonction et donnant une évaluation de Rv(M..) au voisinage des singularités nous ont permis de montrer que l’ensemble formé par les pentes de tous les graphes des fonctions Rv(M, r) (avec v décrivant les places finies de k) est fini. Nous trouvons également des relations de comparaisons entre Rv(M, ρ) ; ρ > 0 et le rayon de convergence Rv(Y) de la matrice uniforme Y des solutions formelles de Turrittin de M en 0 dans le cas où M est un module différentiel non soluble à coefficients éléments analytiques sur une couronne. Par ailleurs nous donnons une caractérisation p-adique locale d’un k(x)-module différentiel M à point singulier régulier à exposants rationnels qui généralise le théorème de Katz. La deuxième partie est consacrée à une application intéressante des résultats précédents aux G-opérateurs et E-opérateurs. Nous prouvons notamment que pour un k(x)-module différentiel régulier en 0 à exposants rationnels, les propriétés ‘’Bombieri’’ et ‘’local Bombieri ‘’ sont équivalentes. Finalement, visant une caractérisation p-adique des E-opérateurs non complétons la conjecture d’Yves André sur les E-opérateurs et montrons sa condition nécessaire.