Problèmes Elliptiques-Paraboliques Doublement Non-linéaires et Calcul des Variations dans les Espaces d’Orlicz-Musielak

Abstract

Cette thèse a pour objectif d’étudier certains problèmes elliptiques, paraboliques doublement non-linéaires et des problèmes de calcul des variations dans le cadre des espaces de Sobolev à exposant variables et d’Orlicz- Sobolev. Ces deux classes d’espaces sont deux cas très intéressants comme espaces d’Orlicz-Musielak. Ce travail se décompose en deux parties. Dans la première nous montrons l’existence d’une T-p(x)-solution pour le problème elliptique associé à l’équation: −div(a(x, u, ∇u)) = F, où Au = −div(a(x, u, ∇u)) est un opérateur de type Leray-Lions, et F ∈ W−1,pl(·)(Ω). Ensuite nous étudions un problème plus général que le premier associé à l’équation: −div(a(x, u, ∇u)) + g(x, u) = f − divF, où les données f et F appartiennent respectivement à L1(Ω) et N Lpl(·)(Ω). Et on achève cette partie par un théorème d’approximation dans les espaces de Sobolev à exposant variable et on donne une application de ce résultat d’approximation pour établir une condition nécessaire dans le cadre de calcul des variations. Dans la deuxième partie, nous étudions deux classes de problèmes paraboliques doublement non-linéaires uni- latéraux. Le premier problème est associé à l’équation:

∂t − div(a(x, t, u, ∇u)) = f dans Q = Ω × (0, T ), b(u)(t = 0) = b(u0) dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω × (0, T ). Nous montrons un résultat d’éxistence de solution renormalisée pour ce dernier. Dans le deuxième type de problème parabolique doublement non-linéaire unilatéral dans l’espace d’Orlicz-Sobolev:

∂t − div(a(x, t, u, ∇u)) + g(x, t, u, ∇u) = f dans Q, b(u)(t = 0) = b(u0) dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω × (0, T ). Nous montrons un résultat d’existence de solution renormalisée pour ce problème sans aucune condition de signe supposée sur le terme fortement non linéaire g.