Study of Some Elliptic and Parabolic Problems of Dirichlet or Neumann Type in Different Settings

Abstract

Au cours de la dernière décennie, une importante littérature traite de différents aspects des EDP dont la partie principale de l’opérateur a une croissance de type puissance, l’exemple principal étant le p-Laplacien. Il existe un large éventail de directions dans lesquelles le cas de la croissance polynomiale a été développé, notamment les approches à exposant variable, avec poids, double phase à exposant variable et des approches faisant intervenir un opérateur "p(x)-Laplacian-like" et un opérateur "p(x)-Kirchhoff-Laplacian". Dans la présente monographie, nous traitons les questions de la théorie de l’existence et de l’unicité aux problèmes elliptiques et paraboliques de type Dirichlet ou Neumann dans différents cadres fonctionnels. L’originalité de ce travail consiste en la présence d’une classe d’opérateurs étudiés permettant de regarder l’importance du cadre fonctionnel, et impliquant des espaces de Lebesgue-Sobolev avec poids et des espaces de Lebesgue-Sobolev à exposant variable. Cette thèse est composée de deux parties principales : La première partie concerne l’étude de l’existence et de l’unicité de la solution faible de certains problèmes de Dirichlet régis par une équation elliptique non linéaire dégénérée dans le cadre des espaces de Sobolev avec poids où les données sont dans L p 0 (Ω, ω1−p 0 ) ou dans L p 0 (Ω, ω1−p 0 ) + Qn j=1 L p 0 (Ω, ω1−p 0 ). Notre outil principal, dans cette partie, est basé sur le théorème de Browder-Minty et la théorie des espaces de Sobolev avec poids. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l’étude de deux classes de problèmes non linéaires, la première classe des problèmes qu’ils discutent dans cette partie sont des problèmes aux limites de Dirichlet ou de Neumann impliquant l’opérateur p(x)-Laplacianlike ou l’opérateur p(x)-Kirchhoff-Laplacian ou l’opérateur (p(x), q(x))-laplacien avec des conditions de croissance non standard. Sous des hypothèses appropriées, ils établissent plusieurs nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de la solution faible dans le cadre des espaces de Sobolev à exposant variable. Ces résultats sont obtenus par une combinaison de la théorie des espaces de Sobolev à exposant variable et la théorie des degrés topologiques pour une classe d’opérateurs démicontinus de type (S+) généralisé. La deuxième classe est un problème parabolique associé à l’équation : ∂u ∂t − div A(x, t, ∇u) = φ(x, t) + div B(x, t, u, ∇u), x MOHAMED EL OUAARABI DOCTORAL THESIS LABORATORY : LMACS ce problème vise à présenter des résultats d’existence d’une solution faible dans l’espace L p (0, T; W1,p 0 (Ω, ω)) par l’utilisation d’une théorie des degrés topologiques pour les opérateurs du type T +S, où S est une application démicontinue bornée de classe (S+) et T est une application monotone maximale linéaire définie de manière dense par rapport à un domaine de T .