Solutions renormalisées et entropiques pour des équations aux dérivées partielles paraboliques et systèmes couplés

Abstract

L’objectif de cette thèse est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non li- néaires de type parabolique faisant intervenir un opérateur de type Leray-Lions avec des données peu régulières, et des termes d’ordre inférieures rendant l’opérateur qui gère l’équation non coércif. Nous établissons dans le chapitre 2 des résultats d’existence de solutions renormalisées des problèmes dont le prototype est :  b(u)t − 6p(u) + div(a(x, t)|u|ν−1u) = f in QT

 u(x, t) = 0 on ∂Ω × (0, T ) avec l’exposant limite ν = (N +2)(p−1) . Dans le chapitre 3, nous étudions les problèmes de ce type :  b(x, u)t − 6p(u) + div(a(x, t)|u|ν−1u) + m(x, t)|∇u|β = µ in QT  b(x, u(x, 0)) = b(x, u0(x)) in Ω.

(0.0.1)

(0.0.2)

Nous montrons des résultats d’existence de solutions renormalisées avec des exposants limites β = N (p−1)+p et ν = (N +2)(p−1) et une données mesure de Radon absolument continue µ ∈ L1(Q)+(Lpt (Q))N .

Dans le chapitre 4, nous étudions le problème à obstacle suivant :  u ≥ ψ a.e. in Ω × (0, T ) b(x, u)t − 6p(u) + div(a(x, t)|u|ν−1u) = µ in QT u(x, t) = 0 on ∂Ω × (0, T )  b(x, u(x, 0)) = b(x, u0(x)) in Ω.

(0.0.3)

Nous montrons l’existence de solutions entropiques en approchant notre problème par une suite des équa- tions pénalisées. Dans le chapitre 5, nous étudions l’existence de solutions renormalisées du système suivant :  bi(x, ui)t − div(a(x, t, ui, ∇ui)) + div(φi(x, t, ui)) = fi(x, u1, u2) − div(Fi) in QT ui(x, t) = 0 in ∂Ω × (0, T )  bi(x, ui(x, 0)) = bi(x, u0,i(x)) in Ω.