Réflexivité d'une extension d'un opérateur sous-normal par un opérateur algébrique

Abstract

Un opérateur linéaire borné T sur un espace de Hilbert est dit réflexif si les opérateurs qui laissent invariant les souse-spaces invariants pour T sont wot-limites de polynômes en T. Dans cette thèse, nous proposons une étude complète sur la réflexivité d’une extension d’un opérateur sous-normal A 2 B(H) par un opérateur algébrique R 2 B(K) de polynôme minimal m = Õri =1(z 􀀀 li)ni de degré n, où K est un espace de Hilbert complexe séparable. L’opérateur T s’écrit suivant la décomposition H K sous la forme T = 2 4 A X 0 R 3 5 où X 2 B(K,H). Dans un premier temps nous montrons que T est réflexif si et seulement si pour tout i = f1, 2, ..., rg, la restriction de T sur le sous espace H Ker(R 􀀀 li)ni de H K est réflexif. Ceci nous ramène à l’étude de la réflexivité de T lorsque R est nilpotent. Dans ce cas nous montrons que T est réflexif si et seulement si l’une des trois conditions suivantes est satisfaite i􀀀 Le spectre de R est à l’intérieur de l’enveloppe de Sarason associé à la mesure spectral scalaire de A. ii􀀀 L’opérateur R est réflexif. iii􀀀 Le vecteur Tne est dans l’espace image de A, où e est un vecteur d’ordre maximum dans K et n l’indice de nilpotence de R. Ensuite, nous donnons une formule pour le défaut de réflexivité de telles extensions.