Capitulation des 2-classes d'idéaux des corps biquadratiques imaginaires de la forme Q (√d, √ -2)

Abstract

Soient d un entier positif sans facteurs carrés et différent de 2, et K le corps biquadratique imaginaire Q (√d, √-2). Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de K. nous supposons que le 2-groupe de classes de K, noté C₂,k , est de type (2,2). Dans le premier chapitre nous énonçons certaines propriétés du corps K, en mettant l’accent sur un corps de genres K* nous donnons ensuite un théorème qui détermine toutes les formes possibles de l’entier d pour lesquelles C₂,k est de type (2,2), (théorème 1.2). Dans la deuxième chapitre nous rappelons certaines propositions sur les unités des corps Q (√d, √d, √-m), que nous avons établies dans [17], et que nous utiliserons ultérieurement. Dans le troisième chapitre nous étudions la capitulation des 2-classes d’idéaux de K dans chacune des trois sous-extensions intermédiaires de K₂⁽¹⁾/K, K₂⁽¹⁾ étant le 2-corps de classes de Hilbert de K. nous déterminons d’abord le nombre des classes qui capitulent, puis les classes qui capitulent et le type de capitulation. Nous déduisons enfin la nature du groupe de Galois de K₂⁽²⁾/K, où K₂⁽²⁾ est le 2-corps de classes de Hilbert de K₂⁽¹⁾.