contribution à l'étude théorique et à l'approximation numérique de quelque problème inverses d'identification de paramètres

Abstract

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude théorique et l’approximation numérique de quelques problèmes inverses d’identification de paramètres. Concrètement, nous avons considéré deux problèmes inverses d’identification de paramètres gouvernés par des équations paraboliques fortement non-linéaires. Dans ce cadre nous avons proposé une approche efficace pour résoudre le premier problème inverse basée sur sa reformulation en un problème de contrôle optimal. Nous avons ainsi étudié l’existence d’une solution optimale sans imposer aucune forme fonctionnelle aux paramètres hydrauliques. Pour cela, nous avons établi un résultat d’existence et d’unicité de la solution du problème d’état non-linéaire en utilisant un théorème de point fixe de Schauder. Sur le plan numérique, deux stratégies d’approximations ont été utilisées. La première combine la méthode de Picard et les différences finies ainsi que les algorithmes évolutionnaires pour le processus d’optimisation. Quant à la deuxième stratégie, elle combine la méthode des éléments finis et l’itération de Newton ainsi que l’algorithme du gradient conjugué. Le deuxième problème étudié dans cette thèse consiste à identifier le coefficient de réaction intervenant dans un modèle de transfert de la chaleur régi par une équation parabolique non-linéaire. Dans ce cadre, nous avons adopté une stratégie permettant d’obtenir une solution précise et stable tout en réduisant le coût de calcul. En effet, nous avons proposé une approche variationnelle de ce problème basée sur une semi-discrétisation temporelle et une reformulation des problèmes stationnaires en des problèmes d’optimisation en contrôle optimal. Ainsi, nous avons montré l’existence d’une solution optimale en établissant un résultat d’existence du problème d’état type non-linéaire via l’utilisation du degré topologique de Leray-Schauder. Ensuite sur le plan numérique, le problème d’optimisation est approché en utilisant une méthode qui combine la discrétisation par éléments finis, l’itération de Newton et les algorithmes évolutionnaires.