Bifurcations d’une classe de IR - Endomorphismes à non linéarité du 4° degré

Abstract

On étudie une classe de IR – endomorphismes à non linéarité de 4° degré définie par : P : IR X IR³ → IR (X, A, B, C) → X4 + AX² + BX + C On construit dans l’espace des paramètres (A, B, C) l’ensemble des lieux de bifurcation issus des points (correspondant à une bifurcation non classique) pour lesquels le développement de Taylor de P se réduit à l’un des trois cas: a) Bifurcation de type + 1 définie par : P' (O) = 1, P" (O), P''' (O) = O, P'''' (O) ≠ O b) Bifurcation de type – 1 définie par : P' (O) = -1, P" (O) = O, P''' = (O) = O, P'''' (O) ≠ O c) Bifurcation de type ± 1 à point d’inflexion se traduisant par : P' (O) = ±1, P'' (O) = O, P''' (O) ≠ O La construction de ces lieux a été effectuée en utilisant des méthodes mixtes analytiques et numériques qui constituent à utiliser les deux premiers termes du développement asymptotique d’une racine d’un polynôme pour initialiser la méthode itérative de Newton. On a également déterminé la région de l’espèce (A, B, C) dans laquelle, le polynôme P a une dérivée Schwartzienne strictement négative, ce qui a permis en appliquant le théorème de Singer d’obtenir la région où P ne possède que trois et seulement trois singularités stables.