Contributions à l’étude des Systèmes Hamiltoniens Solubles et Leurs Déformations Intégrables

Abstract

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des systèmes hamiltoniens intégrables, un des axes les plus actifs de la physique mathématique. Nous avons commencé par étudier les systèmes hamiltoniens intégrables en mécanique classique où la notion d'intégrabilité est liée à la détermination d'une paire de Lax et par conséquent à l'existence d'une matrice r classique. Ensuite, nous nous sommes intéressés à l'étude quantique de ces systèmes par l'application de l'Ansatz de Bethe. Puis, nous avons traité la théorie des champs intégrable: l'équation de courbure nulle, la matrice de monodromie et le groupe d'habillage donnant les solutions solitoniques. Enfin, nous avons étudié certains exemples de déformations de ces systèmes. Parmi nos contributions, nous avons traité le modèle de Calogero quantique et ses déformations intégrables. Nous avons déformé ce modèle par le potentiel de Yukawa. Nous avons montré que le spectre discret de ce système déformé peut être déterminé exactement en fixant la valeur du facteur d'onde et au point singulier x=0 du potentiel. Nous avons calculé l'expression explicite du spectre d'énergie discret: et les fonctions d'ondes correspondantes. Nous avons également porté une attention particulière aux symétries qui gouvernent l'intégrabilité des systèmes hamiltoniens. Nous avons identifié une symétrie fondamentale du modèle de Calogero décrite par une algèbre de Lie de dimension 4 et liée, par une transformation non linéaire, à l'invariance de Heisenberg-Wigner.