contribution à l’étude des équations différentielles fractionnaires à condition non locale

Abstract

Le but de ce travail de thèse est de contribuer à l’étude des équations différentielles fractionnaires non locales. Ce type d’équations a un meilleur effet et avantage que les équations différentielles classiques en modélisation des propriétés et de la mémoire des phénomènes naturelles. Tout d’abord, nous rappelons quelques ingrédients concernant le calcul fractionnaire, la théorie des semi-groupes, la théorie des familles cosines, les transformations intégrales, les fonctions spéciales, la théorie des ensembles flous et quelques résultats d’analyse fonctionnelle sur lesquels s’appuient nos travaux décrits dans cette thèse. Ensuite, nous nous intéressons à l’étude d’un problème de Cauchy, pour les équations différentielles fractionnaires non locales du premier ordre avec une nouvelle dérivée fractionnaire dite "dérivée fractionnaire conforme". Les résultats d’existence, unicité, dépendance continue par rapport à la donnée initiale et régularité de la solution s’obtiennent à l’aide de la théorie des semi-groupes combiné avec la théorie des points fixes. Puis, nous exploitons la théorie des familles cosines et la théorie des points fixes pour montrer l’existence, unicité, dépendance continue par rapport aux données initiales et régularité de la solution d’un problème de Cauchy, pour les équations différentielles fractionnaires non locales du second ordre avec la dérivée fractionnaire conforme. Nous avons aussi donné la solution fondamentale implicite dans un cas concret des équations télégraphistes fractionnaires non locales où la dérivée fractionnaire est prise au sens de Caputo. Finalement, après avoir donné un sens à la dérivée et l’intégrale fractionnaires conformes dans un cadre flou, nous traitons les questions d’existence, unicité et dépendance continue par rapport à la donnée initiale de la solution d’un problème de Cauchy flou, pour les équations différentielles fractionnaires non locales du premier ordre à retard.