Sur les classes de Stiefel-Whitney en théorie bivariante

Abstract

W. Fulton et R. Mac Pherson ont défini deux théories bivariantes: a) la théorie bivariante H construite à partir de la théorie classique de cohomologie à coefficients dans Z̷₂. b) la théorie bivariante IF construite à partir des fonctions constructibles sur X satisfaisant la condition d’Eluler locale. Dans chacune de ces théories sont définies trois opérations : produit, image directe, image réciproque (nous en donnons ici une démonstration complète). W. Fulton et R. Mac Pherson démontrent le théorème fondamental suivant :

Théorème : Il existe une transformation naturelle et une seule :

ω : IF → H qui préserve les trois opérations et telle que si X est une variété sans bord :

ω (1x) : W(TX) . [X]

où 1x est la fonction constante I sur X, W(TX) est la classe de Stiefel-Whitney di fibré tangent à X et [X] est la classe fondamentale.

Dans leur démonstration, Fulton et Mac Pherson utilisent le fait que certaines applications fi, définies pour toute application f : X → Y et α ∈ IF (X → Y), sont des i-circuits. Nous donnons un contre exemple de ce fait et nous donnons une démonstration du théorème fondamental.