Backward stochastic differential equations and their applications to the homogenization of partial differential equations

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions une classe des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs) et nous donnons quelques applications à l’homogénéisation des Equations aux Dérivées Partielles (EDPs). Dans un premier temps, nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et de stabilité quand le coefficient f est localement Lipschitzien et la condition terminale ξ est seulement de carré intégrable. Nos démonstrations sont basées sur des techniques d’approximation. Dans le même esprit mais avec des techniques différentes, nous généralisons nos résultats d’existence, d’unicité et de stabilité dans plusieurs directions. D’une part, le coefficient est à croissance presque quadratique par rapport à ses deux arguments y et z, i.e. |f(t,w,y,z)|≤ η̄ + M(|y|α +|z|α) pour α < 2, et d’autre part, il vérifie une condition de type monotonie locale en la variable y. En outre, la condition vérifiée par rapport à la variable z est plus faible que la condition Lipschitz locale. Finalement, nous prouvons quelques résultats d’homogénéisation aux EDPs en utilisant une approche basée sur la formule de Feynman-Kac généralisée et développée dans [74] et [68]. Ceci nous donne une représentation probabiliste pour les systèmes d’EDPs via les EDSRs. Le problème est alors réduit à étudier la stabilité des EDSRs.