Analyse sur un espace Riemannien symétrique

Abstract

Le but de cette thèse est d’étudier l’existence de solutions élémentaires pour des opérateurs différentiels invariants sur un espace Riemannien symétrique général S. L’outil de base est la décomposition d’un tel espace (supposé simplement connexe) sous la forme :

S = S⁻ x S° x S⁺

où S⁻ (resp: S°, S⁺) est un espace symétrique de type non compact (resp. type euclidien, type compact). L’idée est de réunir, en les adaptant, les résultats connus pour ces trois types. Sur la partie compacte S, un opérateur différentiel invariant admet une solution élémentaire si et seulement si ses coefficients de Fourier vérifient certaines conditions de croissance. Pour le cas général S, nous effectuons d’abord une transformation de Fourier partielle sur la partie compacte S, afin de se ramener à une famille de problèmes analogues sur S⁻ x S°. Pour ces derniers nous utilisons (selon la méthode de S. Helgason pour S⁻) une transformation d’Abdel partielle sur la partie non compacte S. Ainsi le problème est ramené sur l’espace A x S°, où A est la partie abélienne d’une décomposition d’Iwasawa associée à S, l’intérêt d’un tel espace est d’être isomorphe à un ℝⁿ. Ensuite nous adaptons une méthode de construction de solutions élémentaires sur ℝⁿ, due à L. Hörmander. Ceci conduit à une caractérisation des opérateurs différentiels invariants sur S qui admettent une solution élémentaire. Nous montrons que ces opérateurs sont aussi globalement résolubles sur l’espace S.