Etudes théorique et numérique de quelques problèmes d'obstacles

Abstract

Ce travail concerne l’étude de quelques problèmes d’obstacles par différentes méthodes de résolution : régularisation, projection, pénalisation. Il est organisé en deux parties : Dans la première, nous considérons le problème d’obstacle à l’intérieur d’un domaine Ω de IRⁿ, modélisé par une inéquation variationnelle avec contraintes, nous transformons cette inéquation en une autre sans contraintes, mais contenant un terme non différentiable. Notre idée de régulation consiste à remplacer ce terme non différentiable. Notre idée de régularisation consiste à remplacer ce terme non différentiable par un autre terme différentiable, nous obtenons ainsi une famille de problèmes d’équations aux dérivées partielles dont la suite des solutions converge vers la solution du problème initial. Nous fournissons une estimation a-posteriori de l’erreur qui est désirée pour l’implémentation pratique de la méthode de régularisation. Ensuite nous considérons un problème de deux obstacles à l’intérieur du domaine Ω, qu’on transforme en une autre problème d’un seul obstacle, équivalent à un problème d’inéquation variationnelle sans contraintes et contenant un terme non différentiable. Nous procédons de la même façon que pour le problème à un seul obstacle pour approcher la solution du problème initial par notre méthode de régularisation, et fournir une estimation a-posteriori de l’erreur. A l’aide de la méthode des éléments finis on étudie numériquement ces problèmes. Dans la deuxième partie nous étudions un problème d’obstacle sur le bord du domaine Ω, et nous nous intéressons à son problème pénalisé, auquel on applique notre méthode de régularisation pour obtenir des résultats similaires que dans le cas d’un problème d’obstacle à l’intérieur de Ω. Ensuite, à ce problème pénalisé on applique, et nous donnerons un algorithme de calcul de la condition sur le bord de ce problème de Neumann. Enfin, à l’aide de la méthode des volumes finis, on l’étudie numériquement.