Étude de certains opérateurs sur des espaces à poids de Nachbin

Abstract

Cette thèse est une contribution à l’étude des espaces à poids de fonctions continues sur un espace complètement régulier X et à valeurs dans un espace vectoriel topologique A. La recherche dans ce domaine a connu un essor considérable pendant les dernières décennies. S'il est de tradition de considérer des familles V de Nachbin constituées de fonctions réelles (poids) semi-continues supérieurement sur X, nous considérons ici pour la première fois des familles de Nachbin, définies de manière rigoureuse, dont les poids sont à valeurs opérateurs sur A. Notons qu'un tel essai a été entrepris par Shekhar et Komal dans le cas d'un espace de Hilbert H, mais leur travail contenait plusieurs imperfections. Nous avons remédié à ces imperfections et présenté un cadre approprié pour mener une étude systématique sur ces nouveaux espaces à poids, dit généralisés ou non commutatifs. Ceci constitue une belle généralisation des espaces à poids classiques. Nous nous sommes alors intéressés à certaines propriétés de ces espaces CV(X, A), telle la séparation et la complétude. Nous avons donné un théorème de densité caractérisant les parties denses dans un sous-espace vectoriel E de CV_0(X, A). Ce résultat est en fait une extension du fameux théorème de Stone-Weierstrass aux espaces à poids. Nous avons aussi obtenu plusieurs théorèmes de type Arzelà-Ascoli dans des sous-espaces particuliers de CV(X, A). Le gros de notre contribution cependant s'inscrit dans l'étude des opérateurs de multiplication, de composition et de composition pondérés d'un sous-espace vectoriel E de CV(X, A) dans un autre espace à poids généralisé CU(Y, A). Nous avons obtenu plusieurs résultats concernant les propriétés topologiques de ces opérateurs dans différents contextes, selon que A est un espace de Hilbert, un espace normé ou seulement un espace vectoriel topologique