Capitulation des 3-classes d'idéaux de certains corps de nombres

Abstract

Soient K = ℚ(√d) ou ℚ(√d, √-3), où d est un entier positif sans facteur carré distinct se 3, et soit k (resp. k le premier (resp. le deuxième) 3-corps de classes de Hilbert (absolu) de k. Nous étudions le problème de capitulation des 3-classes d’idéaux de k dans les extensions intermédiaires de k⁽¹⁾/k lorsque le 3-groupe de classes d’idéaux de k, noté Sk, est de type (3,3) et le groupe de Galois G = Gal(k⁽²⁾/k) est de classe maximale. Lorsque le 3-groupe Sk est de type (3,3), la théorie du corps de classes nous apprend que l’extension k⁽¹⁾/k admet quatre extensions intermédiaires, notées Ki, 1 ≤ i ≤ 4, dans lesquelles nous étudions le problème de capitulation. Pour i ∊ {1, 2, 3, 4}, nous désignons par Ek, le groupe des unités de Ki, et ai l’indice du sous-groupe de Eki ; engendré par les unités des corps intermédiaires de Ki/ℚ. dans le cas où k est quadratique réel, nous montrons que pour chaque Ki, les seules valeurs possibles de ai sont 1 ou 3, auxquelles on associé deux structures du groupe des unités Ek ; notées α et δ, et nous prolongeons ce résultat au cas des corps biquadratiques. La condition G est de classe maximale nous permet de déterminer le 3-nombre de classes des Ki, 1 ≤ i ≤ 4, par suite les structures possibles des Fki, et par conséquent les différents types de capitulation dans ces quatre extensions. La caractérisation du 3-rang du groupe de classes de la famille des corps quadratiques k = ℚ(√dm) où dm = (m² + m – 3)² - 32, avec m ≡ 1 mod 7, nous a grandement aidé dans la construction des quatre extensions intermédiaires de k⁽¹⁾/k dans le cas où Sk est de type (3,3), et par suite dans l’étude du problème de capitulation