Étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires de type local et non local

Abstract

L’objectif de ce travail est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type elliptique ou parabolique faisant intervenir l’opérateur de Laplace avec des exposants p et q qui peuvent dépendre de la solution inconnue u et de la variable spatiale x. Cette situation où les exposants variables p et q au point x peut dépendre de la valeur inconnue u(x) (ou de l’ensemble des valeurs inconnues (u(x))x∈Ω) n’est pas standard. Néanmoins, les problèmes associés sont bien posés sous des hypothèses de régularité légères sur p et q. Cette thèse composée de quatre chapitres, présente des résultats d’existence de solutions faibles et entropiques pour quelques problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du thèse, nous prouvons au chapitre 2 l’existence de solutions faibles pour deux problèmes elliptiques du type réaction-diffusion avec des conditions aux limites de Dirichlet. Dans le même axe, au chapitre 3, nous avons établi l’existence de solutions entropiques de deux problèmes elliptiques associés à l’opérateur p(u)-Laplacien généralisé avec des conditions de Dirichlet et de Fourier. Le dernier chapitre de ce travail concerne l’étude problèmes aux limites de Dirichlet impliquant un type d’opérateur non homogène qui est généralement connu sous le nom de (p, q)-Laplacien en montrant l’existence de solutions faibles et entropiques pour des équations elliptiques et paraboliques de type local ou non local.