Construction de B-splines simples et composées sur un réseau uniforme du plan, et étude des quasi-interpolants associés

Abstract

Dans ce travail, nous nous intéressons à la construction des B-splines assez régulières, généralisant les B-splines et les box-splines classiques définies sur des triangulations uniformes du plan. Les triangulations que nous considérons sont celles formées de triangles rectangles isocèles ou équilatéraux et notées respectivement τ et τ*. Dans la première partie, nous étudions des espaces de B-splines de classe Ck sur IR² et de support simple formé de six triangles de τ ou de quatre triangles de τ*. Nous calculons les dimensions de ces espaces, ensuite nous en déduisons le degré minimal pour lequel la construction d’une B-spline à support simple est possible. Nous donnons les principales propriétés de ces B-splines et nous décrivons un algorithme qui permet de calculer tous les B-coefficients de celles de degré minimal. En convolant m-fois la box-spline pyramidale, affine par morceaux à support l’hexagone formé des six triangles de τ entourant l’origine, avec l’une des B-splines à support simple et de degré minimal ci-dessus, nous construisons dans la deuxième partie, de nouvelles familles de B-splines composées. Nous montrons qu’elles ont des propriétés d’approximation intéressantes. Nous détaillons un algorithme qui nous permet de calculer tous leurs B-coefficients. Enfin, dans la dernière partie, nous utilisons ces B-splines composées pour construire des quasi-interpolants qui réalisent l’ordre d’approximation optimal dans l’espace engendré par les translatés entières d’une B-spline composée. Les valeurs des B-splines aux points de ZZ² et qui sont calculées à l’aide de l’algorithme cité ci-dessus.