Sur certains problèmes Non Linéaires élliptiques et paraboliques dans les espaces de Sobolev anisotropiques

Abstract

Notre objectif dans cette th`ese est d’´etablir des r´esultats d’existence de solutions pour certains probl`emes elliptiques et paraboliques fortement non lin´eaires dans les espaces de Sobolev anisotropiques et les espaces de Sobolev anisotropiques d´eg´en´er´es. Nous´etudions dans le deuxi`eme chapitre les r´esultats d’existence et d’unicit´e de solutions faibles du probl`eme elliptique de type de Dirichlet suivant Au + N X i=1 gi(x,u,∇u) + N X i=1 Hi(x,∇u) = f − N X i=1 ∂iki dans Ω ou` f ∈ Lp0∞(Ω) et ki ∈ Lp0 i(Ω) avec p0 ∞ = max{p∗;p+}, 1 p = 1 NPN i=1 1 pi, p∗ = Np N−p et p+ = max{p1,...,pN}. Dans le cas ou` Au = −PN i=1 ∂iai(x,u,∇u), on ´etablit l’existence de solutions et dans le cas ou` Au = −PN i=1 ∂iai(x,∇u), on montre l’existence et l’unicit´e de solutions. Dans le troisi`eme chapitre, nous ´etablissons l’existence de solutions de probl`eme unilat´eral associ´e au probl`eme suivant − N X i=1 ∂iai(x,u,∇u) + N X i=1 gi(x,u,∇u) = f avec gi(x,s,ξ) est sans condition de signe et f ∈ L1(Ω). Dans le quatri`eme chapitre, nous ´etudions le probl`eme du chapitre 3 dans l’espace de Sobolev anisotropique d´eg´en´er´e. Dans le cinqi`eme chapitre, nous ´etudions le probl`eme unilat´eral associ´e au probl`eme suivant − N X i=1 ∂iai(x,u,∇u)− N X i=1 ∂iφi(u) = µ ou` φi ∈C0(R,R) et µ = f − div F appartient `a L1(Ω) +QN i=1 Lp0 i(Ω). Dans le sixi`eme chapitre, nous montrons l’existence de solutions renormalis´ee du probl`eme parabolique suivant ∂b(x,u) ∂t − N X i=1 ∂iai(x,t,u,∇u) + N X i=1 gi(x,t,u,∇u) = f dans D0(Q), bn(x,u)(t = 0) = b(x,u0) sur Ω u = 0 sur ∂Ω×]0,T[. ou` f ∈ L1(Q) et b(x,u0) ∈ L1(Ω).