Approximation polynomiale dans un espace de Sobolev à poids : Application à l'estimation d'erreur de la méthode des éléments finis pour des problèmes aux limites singuliers et dégénérés

Abstract

Dans cette thèse nous traitons l’estimation d’erreur de la méthode des éléments finis pour d’eux types de problèmes ne conduisant pas à un ordre de convergence optimal si une méthode des éléments finis usuelle est utilisée dans le cadre des espaces de Sobolev classiques. Dans le premier : on considère le problème de Dirichlet pour un opérateur différentiel d’ordre 2i, posé dans un domaine borné ΩIR n non régulier, vérifiant la propriété du cône et admettant en un point conique x0Є∂Ω un cône d’ouverture w, 0<w<π. Il est bien connu que la solution d’un tel problème présente des singularités au voisinage de x0 ; citons par exemple les travaux de Kondratiev et de Kufner [11,12]. Ces singularités conduisent à un ordre non optimal de convergence de la méthode des éléments finis conformes par rapport à la norme énergétique classique de Sobolev. Pour remédier à cet inconvénient, nous adoptons dans cette thèse deux démarches : la première consiste à établir l’estimation d’erreur par rapport à une norme à poids convenablement choisi ; dans la seconde démarche, nous utilisons la technique de raffinement de maillage au voisinage de x0. Dans la deuxième : on considère le problème de Dirichlet pour un opérateur différentiel d’ordre 2, posé dans un domaine régulier et borné dans IR2, et dont l’ellipticité est violée en conduisant à une dégénérescence; citons par exemple les travaux de Kufner et Sändig [14]. Là aussi, cette dégénérescence conduit à un ordre non optimale de convergence si une méthode des éléments finis classiques est utilisée dans le cadre des espaces de Sobolev classiques. Pour ce problème, nous utilisons la méthode des éléments finis non conformes choisis d’une manière appropriés. Dans les deux cas, on obtient dans cette thèse, une estimation d’erreur optimale d’ordre O(hk+14), ou h est le paramètre de maillage, k est le degré polynomial de l’espace des éléments finis.