Autour de la première courbe du spectre de Fučĭk de certains problèmes elliptiques avec poids

Abstract

Ce travail de thèse a pour objectif principal l’étude de la première courbe du spectre de Fučĭk d’un problème elliptique, avec poids, en dimension supérieure. Ce spectre généralisé est défini comme étant l’ensemble des couples (α,β) de IR+*2 pour les quels le problème suivant possède une solution non triviale

Lu = m (αu+ ─ βu¯ ) dans Ω, u Є H01 (Ω)

ou Ω est un domaine borné de IRN, N ≥ 1 est m est une fonction poids dans Lν (Ω), ν > N ; 2 positive sur un ensemble de mesure non nulle ; avec u+ := max (u, 0), u- :=(- u)+ de sorte que u = u+ ─ u- . Cette problématique entre dans le cadre des problèmes présentant une non linéarité asymétrique à l’infini. De nombreux travaux ont été consacrés à ce type de problèmes depuis 1973 et dont certains sont motivés par des questions concrètes, à savoir, les phénomènes de résonance physique et les problèmes de ponts suspendus soulevés par l’ingénierie civile. Dans notre étude, nous faisons usage de diverses techniques d’Analyse non-linéaire : la théorie spectrale, la théorie des points critiques, les méthodes de minimax et les méthodes varitionnelles. Ce qui nous a permis de donner deux caractérisations variationnelles différentes de la première courbe propre du spectre de Fučĭk notée Cm1 dont une est nouvelle et elle est à la base du résultat de monotonie de Cm1 par rapport au poids m ; tandis que l’autre nous a servi pour la résolution d’un problème avec une perturbation résonante par rapport à Cm1.