Existence of solutions to elliptic Problems in variable exponent spaces

Abstract

Au cours de la dernière décennie, une importante littérature a traité de différents aspects des EDP dont la partie principale de l’opérateur présente une croissance de type puissance, l’exemple principal étant le p p-Laplacien. Il existe un large éventail de directions dans lesquelles le cas de la croissance polynomiale a été développé, notamment les approches à exposant variable, convexe, pondérée et à double phase. L’objectif de cette thèse est d’appliquer ces approches à plusieurs espaces. Dans le premier chapitre, nous rappelons les définitions, propositions, lemmes et théorèmes pertinents et nécessaires (et nous prouvons certains de ces théorèmes) que nous utiliserons dans notre analyse. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à la solvabilité, ainsi qu’aux résultats d’existence et d’unicité, d’une classe d’équations elliptiques anisotropes dont le second terme est un terme d’ordre inférieur à croissance non polynomiale, décrit par un N-uplet de N-fonctions satisfaisant la condition Δ2 Δ 2 , dans le cadre d’espaces de Sobolev-Orlicz anisotropes sur un domaine général. Ensuite, dans le troisième chapitre, nous nous concentrons sur l’étude de l’existence et de l’unicité d’une classe de problèmes elliptiques unilatéraux non linéaires (P) dans un domaine général, régis par un terme d’ordre inférieur à croissance non polynomiale, décrite par un N-uplet de N-fonctions satisfaisant la condition Δ2 Δ 2. De plus, le terme source est simplement intégrable. Dans le quatrième chapitre, nous étendons le résultat du deuxième chapitre du cas où les exposants pp et qq sont constants au cas où p(⋅)p(⋅) et q(⋅)q(⋅) sont des fonctions. Nous discutons de la solvabilité des systèmes elliptiques fortement non linéaires dans le cadre des espaces de Sobolev à exposants variables anisotropes, sous des hypothèses très générales sur les données. Nous prouvons l’existence d’un couple de solutions entropiques pour une source L1L 1 , sans supposer aucune condition sur le comportement des solutions lorsque xx tend vers l’infini. Dans le cinquième chapitre, nous introduisons une nouvelle classe de problèmes d’approximation correspondant à une équation d’obstacle quasi linéaire, qui implique un opérateur elliptique général à exposants variables sous forme de divergence, appelé opérateur d’obstacle à double phase à exposants variables. Sur la base du théorème du Mountain Pass, des outils de l’analyse non lisse et de certaines hypothèses appropriées, nous prouvons l’existence de solutions faibles. L’étude de ce type de problèmes est à la fois importante et pertinente. D’une part, nous avons une motivation physique, puisque l’opérateur à double phase a été utilisé pour modéliser les solutions en régime permanent des problèmes de réaction-diffusion, qui se présentent en biophysique, en physique des plasmas et dans l’étude des réactions chimiques. D’autre part, ces opérateurs fournissent un paradigme utile pour décrire le comportement des matériaux fortement anisotropes, dont les propriétés de durcissement, liées à l’exposant régissant la croissance du gradient, changent radicalement selon le point considéré, le coefficient μ( ⋅ )μ(⋅) déterminant la géométrie d’un composite constitué de deux matériaux différents. Dans le dernier chapitre, nous passons à un autre espace qui connaît actuellement un grand développement : les variétés riemanniennes de Sobolev-Orlicz à exposant variable. Nous démontrons l’inégalité de Hölder ainsi que les résultats d’encastrement continu et compact. De plus, nous étudions, comme application, l’existence de solutions non négatives non triviales pour une classe de problèmes à double phase où le terme source est une fonction de Carathéodory qui satisfait la condition de type Ambrosetti-Rabinowitz.