Etude de quelques problèmes elliptiques et paraboliques non linéaires dans L¹ avec condition de Neumman sur le bord

Abstract

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type elliptiques où paraboliques qui sont d’une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles, car on n’a pas l’existence et l’unicité. Dans les dernières années, plusieurs auteurs se sont intéressés à des formulations plus appropriées : les solutions appelées SOLA (Solution Obtenue comme Limite d’Approximation) introduites par Dall’Aglio dans [18], les solutions entropiques définies par Ph. Bénilan, L. Boccardo, T. Gallouet, R. Gariepy, M. Pierre et J.L. Vasquez dans [11] et les solutions renormalisées introduites par F. Murat dans [43, 44]. Dans cette thèse, nous présentons des résultats d’existence et unicité de solutions entropiques ou renormalisées pour quatre types de problèmes non linéaires elliptiques ou paraboliques. Après l’introduction, nous présentons au chapitre 1 quelques définitions et rappels des résultats nécessaires pour la suite de ce travail. Dans le chapitre 2, nous utilisons la méthode de la régularisation, nous étudions les questions d’existence et d’unicité d’une solution entropique pour un problème elliptique, et dans le troisième chapitre nous prouvons l’existence d’une solution renormalisée pour un autre problème elliptique. Dans les chapitres 4 et 5, en utilisant la méthode d’Euler dans le cas implicite, nous montrons l’existence et l’unicité d’une solution entropique pour deux problèmes différents paraboliques.