Approche projective du filtrage polynomial pour les systèmes stochastiques bilinéaires

Abstract

Le travail présenté traite le problème de l’estimation polynomiale à variance minimum, par projection euclidienne sur des produits de corrélation de degré inférieur ou égal à r des observations, ces produits étant des fonctionnelles à noyaux séparables. Cette approche ne nécessite pas d’hypothèse probabiliste, mais seulement une connaissance statistique de degré inférieur ou égal à 2r. Le principal résultat est la mise en évidence de la structure récursive en dimension finie des innovations obtenues. Ceci généralise la propriété classique de l’estimation linéaire mais au prix d’une augmentation de dimension non triviale par des estimateurs supplémentaires appelés ici filtres induits. Pour montrer tout le bénéfice de cette approche en filtrage non-linéaire, le problème de filtrage polynomial a été traité sur un processus à réalisation bilinéaire, où les méthodes du filtrage probabiliste (espérance conditionnelle) sont connues pour donner des résultats infini-dimensionnels. Le problème a été traité à la fois en temps discret en utilisant la classe des produits de corrélations des observations de retard maximal d et la classe des sommes itérées de ces observations ainsi qu’en temps continu en utilisant les intégrales itérées des observations correspondantes. Comme application de ce travail, nous avons mis en œuvre un filtre quadratique optimal d’estimation de covariance de bruit dans un système dynamique linéaire.