Etude de certaines conditions algébriques et homologiques sur les anneaux commutatifs

Abstract

Cette these se compose de six chapitres recouvrant six articles [41, 49, 67, 68, 69, 70], ` a` travers lesquels nous enrichissons la litterature par de nouvelles classes d’anneaux et de ´ nouveaux exemples par le biais du transfert de certaines propriet ´ es aux extensions d’un ´ anneau commutatif, a savoir l’extension triviale et l’amalgamation d’anneaux le long d’un ` ideal. ´ Le premier chapitre porte sur l’etude de la factorisation des id ´ eaux r ´ eguliers princi- ´ paux en des ideaux premiers. Dans ce chapitre, nous ´ etablissons quelques caract ´ erisations ´ des faibles π-anneaux dans le cas gen ´ eral et nous ´ etudions leur transfert et celui des ´ presque faibles π-anneaux et des (∗)-anneaux a l’extension triviale d’un anneau. Dans ` le deuxieme chapitre nous introduisons une nouvelle classe d’anneaux appel ` ee les forte- ´ ment (∗)-anneaux et nous etudions le transfert de cette propri ´ et ´ e´ a l’extension triviale ` d’un anneau et a l’amalgamation des anneaux, ainsi que celui des propri ` et ´ es mentionn ´ ees ´ prec ´ edemment dans le premier chapitre. Le troisi ´ eme chapitre est consacr ` e´ a l’ ` etude de ´ la stabilite des propri ´ et ´ es anneau divis ´ e, anneau localement divis ´ e, anneau descendant et ´ anneau Gaussien en terme de l’amalgamation des anneaux, ainsi que l’etude des con- ´ ditions necessaires et suffisantes pour avoir la forme des id ´ eaux de ce fameux anneau. ´ Ensuite, dans le quatrieme chapitre, nous introduisons un nouveau type d’id ` eaux appel ´ es ´ les ideaux fortement ´ φ-n-irreductibles et nous ´ etudions leur extensions dans diff ´ erents ´ type de construction d’anneaux. Le cinquieme chapitre a pour but d’ ` etudier et d’ ´ etablir ´ le transfert de la propriet ´ e homologique des ´ FPP-anneaux dans differentes extensions ´ d’anneaux. Finalement, le sixieme chapitre est consacr ` e´ a l’ ` etude d’une version faible de ´ la propriet ´ e anneau ´ S-Noetherien, appel ´ ee anneau ´ w-S-Noetherien, ainsi que son trans- ´ fert aux extensions d’anneaux. De plus, nous gen ´ eralisons cette propri ´ et ´ e dans le cas du ´ domaine integre, que nous appelons la propri ` et ´ e des anneaux non-nil ´ w-S-Noetheriens et ´ nous caracterisons cette propri ´ et ´ e gr ´ ace au produit fibr ˆ e. ´ Quelques perspectives que nous voudrons aborder comme travaux futures, sont presen- ´ tees ´ a la fin de notre th ` ese.