Estimation non paramétrique basée sur les rangs pour les modèles ARMA

Abstract

Ce travail est consacré à l’étude de méthodes non paramétriques basées sur les rangs pour le problème de l’estimation dans le modèle autorégressif moyenne mobile (ARMA). Dans le premier chapitre, nous rappelons brièvement certaines procédures sur la R-estimation pour des modèles particuliers. Le deuxième chapitre porte sur les propriétés asymptotiques des statistiques de rangs sérielles dans le modèle ARMA : le théorème de projection de Hájek, la normalité asymptotique sous l’hypothèse nulle, la propriété LAN, la normalité asymptotique sous les contre-hypothèses locales et la linéarité uniforme asymptotique. Le troisième chapitre, nous proposons comme suite de R-estimateurs pour le paramètre du modèle ARMA une valeur qui minimise un vecteur des statistiques de rangs convenable qui se déduit de la suite centrale de la propriété LAN ; puis nous dérivons la loi limite de ces R-estimateurs, sous des conditions assez générales de √n-convergence, moyennant une propriété de linéarité uniforme asymptotique. Nous adoptons ensuite l’approche de Hájek-Le Cam pour construire une nouvelle classe d’estimateurs que nous baptisons des R-estimateurs asymptotiques qui sont équivalents à nos R-estimateurs √n-convergents à l’ordre de n-1/2. Cette construction requiert l’utilisation d’une suite d’estimateurs discrets et √n-convergents et permet d’obtenir une suite d’estimateurs qui est localement asymptotiquement minimaux (LAM). Enfin, nous comparons nos R-estimateurs asymptotiques aux estimateurs usuels au sens de l’efficacité relative asymptotique. Le quatrième chapitre tente d’étudier le problème de l’estimation adaptative basée sur les rangs pour le paramètre du modèle ARMA. Nous établissons, à travers deux approches différentes, deux suites d’estimateurs qui sont LAM et indépendantes de la densité de l’innovation. Le dernier chapitre traite le problème de l’estimation basée sur les rangs signés dans le cas où la densité de l’innovation serait symétrique. Nous introduisons des statistiques sérielles de rangs signés et dérivons leurs propriétés asymptotiques. Après, nous adoptons une démarche tout à fait analogue à celle proposée dans le troisième chapitre pour déduire des R-estimateurs signés et des R-estimateurs signés asymptotiques.