Identification of potential parameters in a nonlinear time-fractional diffusion model

Abstract

Cette thèse vise à étudier le problème inverse de l’identification des paramètres dans un modèle de subdiffusion non linéaire à partir de données supplémentaires. Le modèle de subdiffusion non linéaire fait intervenir une dérivée fractionnaire de Caputo d’ordre α ∈ (0, 1) dans le temps. La première partie explore l’étude du problème direct. Dans ce cadre, nous montrons l’existence, l’unicité et la régularité de la solution du problème direct en utilisant les fonctions de Mittag-Leffler. En outre, l’approximation numérique de l’équation fractionnaire sera déterminée en utilisant la méthode des différences finies, et quelques tests numériques seront présentés. La deuxième partie examine le problème inverse en utilisant l’approche de contrôle optimal régularisé, où nous montrons l’existence du minimiseur et la stabilité de notre problème inverse à l’aide des conditions d’optimalité de la fonctionnelle coût considérée. Nous fournissons des résultats numériques pour certains exemples basés sur l’approche de descente du gradient. La troisième partie est consacrée à la mise en œuvre conceptuelle de la méthode du multiplicateur à direction alternée (ADMM) pour résoudre le problème de contrôle optimal. Nous montrons au début la convexité de la fonctionnelle pour pouvoir appliquer l’ADMM, ensuite, nous établissons sa convergence. Afin de montrer l’efficacité de la méthode proposée, nous présentons quelques expériences numériques. Quant à la quatrième partie, nous proposons une approche de réseau de neurones artificiels (ANN) pour résoudre notre problème inverse. Il s’agit d’une nouvelle méthode plus largement utilisée pour résoudre les problèmes inverses. La dernière partie est consacrée à la comparaison numérique de toutes les méthodes proposées, telles que la méthode de descente de gradient, la méthode ADMM et la méthode ANN, pour montrer leurs efficacités.