Méthodes de projection et extensions : Etude théorique et pratique

Abstract

La valeur d’une fraction continue est la limite de la suite de ses convergents successifs. La convergence de cette suite peut être lente. Il est connu qu’une transformation algorithmique accélèrent toutes les fractions continues ne peut pas exister. Il est donc nécessaire de considérer des classes. Les fractions continues k-périodiques constituent un modèle simple qui permet de dégager des propriétés imprévisibles (comme la possibilité de transformer une fraction continue à convergence logarithmique en une autre à convergence linéaire) de procédés connus. Il permet aussi de préciser la nature des procédés à construire pour accélérer es classes plus générales. Les fractions continues périodiques à la limite sont les seules qui convergent linéairement (lorsqu’elles ne convergent pas logarithmiquement). Il est possible, pour des sous-classes de ces fractions continues de prévoir parmi les procédés existant ceux qui les accélèrent le mieux. Les fractions continues k-périodiques à la limite sont d’une autre nature et nécessitent la construction de procédés à caractère k-périodique. D’autres classes dont la convergence et soit logarithmique soit inqualifiable se distinguent par la lenteur de leur convergence et la complexité de leur étude. Une étude approfondie du comportement des erreurs différences et des queues permet une classification et conduit à la construction de procédés adéquats. D’un autre coté, la recherche habituelle d’un procédé d’accélération est généralement basée sur des expressions algébriques. Le procédé obtenu n’est d’accélération rapide que pour une classe restreinte de fractions continues. Une caractérisation, de l’accélération de la convergence conduit naturellement à la sur-accélération, la sur-accélération consiste à construire un procédé dont l’accélération est rapide pour une classe nettement plus grande.