Problème liés à certaines extensions d'algèbres

Abstract

Si R est quasi-Baer, σ un automorphisme et Re est (σ, δ)-stable pour tout e Sℓ(R), alors R[x ; σ, δ] est quasi-Baer. De plus, Si R est (σ, δ)-Armendariz tordu tel que σ est un automorphisme de R et tous les idéaux de R sont (σ, δ)-stables, alors R est quasi-Baer si, et seulement si R[x ; σ, δ] est quasi-Baer. On introduit la condition (Cσ), pour montrer quelques résultats sur les anneaux quasi-Baer, p.q.-Baer, symétriques et réversibles. Par exemple, si R est p.q.-Baer à droite tel que Re est (σ, δ)-stable pour tout e Sℓ(R), et R satisfait la condition (Cσ), alors R[x ; σ, δ] est p.q.-Baer à droite. Aussi, que si R (σ, δ)- Armendariz tordu réversible et satisfait la condition (Cσ), alors R est de p.q.-Baer à droite et seulement si R[x ; σ, δ] est p.q.-Baer à droite. On montre aussi, que si R est (σ, δ) -Armendariz tordu et satisfait la condition (Cσ), alors R est de Baer (p.q.-anneau) si, et seulement si R[x ; σ, δ] est de Baer (p.q.-anneau). On a ainsi une généralisation des ([36]), corollaire 12, Corollaire 15, Théorèmes 11 et 14). Nous étudions aussi, le transfert de la réversibilité (resp., σ–réversibilité) et la symétrie (resp., σ-symétrie) d’un anneau R à certaines extensions polynomiales tordues. On montre que, si R est (σ, δ)- Armendariz tordu et satisfait la condition (Cσ), alors R est symétrique (resp., réversible) si et seulement si R est σ-symétrique (resp., réversible) si, et seulement si R R[x ; σ, δ] est σ-symétrique (resp., réversible)) comme conséquence, on obtient une généralisation de plusieurs résultats. On introduit la définition d’anneau σ-(sps) Armendariz tordu, pour étudier la réversibilité et la symétrie des anneaux des séries formelles tordus R[[x, σ]]. on établie une relation entre la propriété Baer, quasi-Baer et p.p.-anneau d’un anneaux R celles des anneaux des séries formelles tordus R[[x, σ]],dans le cas où R est anneau σ–réversible à droite.