Contribution à l'étude de la théorie des systèmes : Régularisation et immunologie

Abstract

Ce travail est une contribution à l’analyse et au contrôle des systèmes à paramètres répartis. Les systèmes considérés sont linéaires ou non linéaires. Nous avons étudié dans les trois premiers chapitres de cette thèse une classe de systèmes linéaires distribuées avec état discret et commande continue. Pour préciser, nous avons traité, dans le chapitre 2, le problème de contrôle linéaire quadratique et ceci dans le cas d’horizon de temps fini. Ensuite, nous nous sommes intéressés, chapitre 3, à l’étude du problème de la contrôlabilité pour de tels systèmes. Comme extension des résultats du deuxième chapitre, le problème de contrôle optimal dans le cas d’horizon de temps infini pour la même classe de systèmes a été également abordé dans le quatrième chapitre de cette thèse et ceci sous l’hypothèse fondamentale de la stabilité du système. Moyennant une approche similaire à la méthode HUM, nous avons d »montré dans ces trois chapitres que le contrôle, solution du problème, ainsi que le coût, dérivent de la résolution d’une équation algébrique linéaire. Dans le dernier chapitre, nous avons traité un système non linéaire, représentant un modèle immunologique proposé par Perelson et Nelson, et décrivant l’intéraction du virus VIH avec les cellules T CD4+ du système immunitaire. Nous avons introduit une variable de contrôle simulant l’action d’inhibiteurs du VIH. Une application du principe du maximum de Pontryagin a permis de caractériser le contrôle optimal qui minimise l’intensité du traitement, et maximise le nombre de cellules T CD4+. Le long de ce travail, des exemples et des simulations numériques stimulants fortement les résultats obtenus, sont exposés.