Contribution à l'étude des cellules d'harmonicité des domaines de Rⁿ

Abstract

L’un des procédés les plus connus pour analyser les solutions (recherche des singularités, estimation d’inégalités…) dans un domaine D de ℝⁿ de certaines équations aux dérivées partielles linéaires, notamment celles associées au Laplacien itéré, consiste à introduire dans ℂⁿ un domaine H(D), dont la trace avec ℝⁿ est d, appelé la cellule d’harmonicité de D. cela fait que nous obtenons un domaine de ℂⁿ auquel toute la classe des solutions se prolonge holomorphiquement. Cette extension rapproche l’analyse réelle des techniques d’analyse complexe (Formules de Cauchy, fonctions plurisousharmoniques…). Toutefois, le problème de la détermination explicite de H(D) demeure une épineuse question, car pour le résoudre on doit connaitre pas moins de trois maximas liés (dans le cas relativement simple de convexité). Nous donnons d’abord une généralisation de la méthode de Siciak pour démontrer, dans le cas des fonctions réelles polyharmoniques, le théorème principal de Lelong. Une autre généralisation à ℂⁿ, avec n ≥ 2, est démontrée au chapitre 2 concernant le théorème de Jarnicki : elle signifie que l’on peut construire des cellules d’harmonicité analytiquement homéomorphes à partir de domaines analytiquement homéomorphes. Cela nous suggère d’expliciter H’D) pour une portion de la boule de ℝⁿ et une pyramide de ℝ³. Partant de domaines plans polygonaux, il est possible de trouver leur cellule d’harmonicité dans ℂ² et même de décrire quelques propriétés géométriques de ces cellules (points extrémaux, hyperplans d’appui, représentation matricielle…). Sur ce sujet, le chapitre 3 donne une caractérisation complète des cellules d’harmonicité de type polyédrique. Une dernière généralisation du procédé de complexification, dans le cas d’une e.d.p. non linéaire, est la suivante : Le passage des fonctions harmoniques aux fonctions p-harmoniques revient à considérer les solutions (forcément presque partout analytiques réelles) de l’équation de p-Laplace avec p réel >1 sans points critiques dans un domaine plan D. Il n’y a pas de raison a priori pour étendre cette classe à H(D). On envisage en revanche l’intersection de tous les domaines Du de ² (Du étant le domaine non vide maximal et de trace réelle D auquel s’étend holomorphiquement la fonction p-harmonique u) lorsque u parcourt la classe entière étudiée. Un certain résultat théorique montre au chapitre 4 que la cellule de p-harmonicité ainsi définie est incluse dans la cellule d’harmonicité usuelle. Le chapitre 5 étudie la boule de Lie, un domaine carrefour de ℂⁿ auquel aboutissent (étonnamment !) des questions assez variées d’analyse complexe, analyse harmonique, géométrie différentielle, et même de physique théorique. Deux caractérisations y sont données : l’une par rapport aux boules usuelles de ℂⁿ la seconde parmi tous les domaines homogènes bornées symétriques irréductibles de ℂⁿ