Anneaux pour lesquels la réciproque du lemme de Schur est vérifiée ( Anneaux de Hirano-Park )

Abstract

Si R un anneau, M un R-module simple, alors l’anneau des endomorphismes de M est un anneau à division (lemme de Schur). La réciproque de résultat n’est pas un vrai en général. Ce travail s’intéresse à l’étude de cette réciproque. Nous introduisons la notion de HP-propriété et nous montrerons que c’est un invariant au sens de Morita. Ceci nous permet de montrer qu’un anneau R est semi-simple ssi R est un HP-anneau, semi-premier et de Goldie à gauche. On étudiera la HP-propriété pour les anneaux réguliers eu sens de von Neumann (VNR). On montre qu’un anneau (VNR) dont tous les quotients primitifs sont artiniens est un HP-anneau. En particulier, tout anneau régulier à identité polynômiale vérifie la propriété (HP). Les résultats précédents permettent de caractériser les anneaux réduits à identité polynômiale qui sont des HP-anneaux. Enfin, la HP, propriété est considérée dans certains V-anneaux. Concernant la HP-propriété pour un anneau parfait R, nous montrons que P est un HP-anneau ssi R est un produit d’anneaux primaires. On obtient une caractérisation des HP-anneaux noetherien à gauche et une classe d’algèbres quasi-Frobenius vérifiant la HP-propriété. Nous terminons ce travail par l’étude de la HP-propriété dans les anneaux de groupes. On démontre principalement que pour un groupe fini G et K un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique non nulle p divisant l’ordre de G, K[G] est primairement décomposable ssi K[G] est un HP-anneau ssi G = HP où H est un p’-sous –groupe distingué de G et P est un p-sous-groupe de sylow de G. Le théorème de Bergmann-Isaacs nous a permis la Généralisation du résultat précédent au cas d’un anneau commutatif et artinien puis pour un anneau quelconque.