Algèbre de Clifford d'une forme cubique binaire sur un anneau commutatif

Abstract

Dans ce travail, nous étudions l’algèbre de Clifford C d’une forme cubique binaire diagonale sur un anneau cmmutatif A : φ (µ, υ) aµ³+b υ³, où 6ab est inversible dans A. Nous montrons à propos de C et de son centre Z=Z(C) que l’on a : Z=A [m,l], où m et l sont des éléments du centre Z tels que : l³= m² + (3ab) m+ (3ab)² , C est un Z module libre du rang 9 dont on explicite une base (ei)i=1…9 C est une algèbre d’Azumaya Il existe un A homorphisme d’algèbres de l’algèbre de Clifford C dans l’algèbre des matrices d’ordre 3 sur l’anneau, B= A [ε, a⅓, b⅓], où ε est une racine primitive cubique de l’unité. Si A contient les éléments ε, a⅓ et b⅓, cet homomorphisme est surjectif. Si I est un idéal bilatère de C, tout x dans I s’écrit x=∑_(i=1)^y ai, ei, où les a i ∈ Z et (e i) i=1…9 est la base établie dans le chapitre I. en fait ces ai sont aussi des éléments de l’Idéal I. Si A=K est un corps et la forme φ est isotrope ou représente un élément de la forme α³ où α≠ 0 dans K, alors l’algèbre de Clifford C est semblable à son centre Z dans le groupe de Brauer (Br(Z) : [c] = [z] dans Br (Z). Enfin, grâce à l’application, sous certaines conditions, de la transformation de Dickson, pour la réduction à la forme diagonale, nous donnons une version en apparence plus générale des résultats précédents.