Etude effective de quelques problèmes en algèbre différentielle et en géométrie algébrique plane

Abstract

Dans cette thèse nous étudions trois problèmes fondamentaux. Le premier s’inscrit dans le cadre de l’algèbre différentielle et concerne la décomposition d’un idéal différentiel parfait engendré par une famille finie de polynômes différentiels en idéaux différentiels parfait qui sont définis d’une façon unique par leurs ensembles caractéristiques. Nous montrons qu’une telle décomposition pour résoudre les problèmes suivants : 1- Le test d’appartenance d’un polynôme différentiel a un idéal différentiel parfait engendré par une famille finie de polynômes différentiels. 2- Le calcul de l’ensemble caractéristique d’un idéal différentiel premier. 3- Le calcul de la dimension différentielle d’un idéal différentiel ainsi qu’un de ses ensembles paramétriques. Le second problème fait partie de la géométrie algébrique, dans lequel nous généralisons la notion de la résolvante à un idéal polynomial quelconque en proposant un algorithme efficace qui la calcule. Le dernier problème est un problème de la géométrie algébrique plane. Nous présentons une nouvelle méthode qui calcule la courbe duale d’une courbe projective plane. Dans cette méthode nous ajoutons une seule nouvelle variable sans étendre le corps des coefficients de la courbe projective. L’algorithme que nous proposons tourne en temps polynomial.