Étude de la bifurcation dans certaines équations elliptiques et paraboliques : analyse mathématique et simulation numérique

Abstract

Le travail constituant cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude des équations aux dérivées partielles non linéaires. Il s’articule autour de deux axes différents. Le premier concerne l’étude des bifurcations comportant des applications non nécessairement différentiables et des valeurs critiques multiples. Le second concerne l’étude de certaines équations et systèmes avec non linéarités arbitraires et des données mesures. La première partie comporte quatre chapitres. Le premier présente des ingrédients nécessaires à la suite du travail. Dans le deuxième chapitre, en appliquant un théorème dû à N. X. TAN un résultat de bifurcation est établi pour un problème elliptique. Le troisième chapitre traite une équation elliptique dégénérée où le théorème précédent est inapplicable. Le dernier chapitre de cette partie est une adaptation de ce théorème au cas des systèmes. La deuxième comporte aussi quatre chapitres. Le cinquième chapitre traite le cas d’une équation parabolique comportant une mesure et une fonction mesurable dont la croissance est sur quadratique à l’infini. Dans le sixième chapitre, on établit des résultats d’existence et d’unicité de solutions faibles pour des problèmes comportant une fonction non régulière. Une caractérisation de la valeur critique au-delà de laquelle un système elliptique n’a pas de solution est donnée dans le premier chapitre. La troisième partie est une simulation numérique de certains problèmes étudiés dans les deux premières parties et comporte deux chapitres. Le premier traité dans le deuxième chapitre tandis que le deuxième traite un exemple de la première.