Etude spectrale des contractions de classe C₁

Abstract

Soit T une contraction sur in Hilbert E. Elle est de classe C₁ si pour tout x≠0, Tmx→̷ 0, quand m → + ∞. L’opérateur T est dit complètement non unitaire (c.n.u.) s’il n’existe pas de sous-espace fermé F tel que F = TF et T/F soit une isométrie. Nous supposerons que T est c.n.u.. Dans l’article (1) B. BEAUZAMY et M. ROME ont défini l’espace ℰ, complété de E pour la norme [[x]] = lim‖Tmx‖. C’est un Hilbert, dont le produit scalaire est [x,y] = lim<Tmx, Tmy>. L’opérateur T s’étend en une isométrie T de ; cette isométrie est surjective dès que l’image de T est dense dans E, ce que nous supposerons. Dans le même article (1) les auteurs ont établi que Sp(T̃) le spectre de T est contenu dans Sp(T) ∩ C l’intersection du spectre de T avec le cercle unité C, et ils ont donnée une condition suffisante pour avoir l’égalité entre ces deux derniers ensembles. Dans notre travail, nous constaterons que la condition suffisante dans (1) n’est pas nécessaire. Nous donnerons ainsi une condition nécessaire portant sur l’existence des valeurs ʎ isolées dans Sp(T) ∩ C, et une condition nécessaire et suffisante sera fournier et portera sur les vecteurs propres approchés de T pour ʎ élément du Sp(T) et de module égal à un. Nous terminerons par la réponse affirmative aux questions suivantes : 1° Existe-t-il T c.n.u. de classe C₁ inversible ou d’image dense avec Sp(T̃) ⊂≠ Sp(T) ∩ C ? 2° Si T est tel que Sp(T̃) ⊂≠ Sp(T) ∩ C. Peut-on approcher T par une suite (Tn)n ≥1 de contractions c.n.u. de classe C₁ avec Tn → T selon une convergence aussi bonne que possible et telles que les Tn satisfassent l’égalité spectrale. Sp(T̃n) = Sp(Tn) ∩ C pour tout n supérieur ou égal à un ?