Contribution à l'étude des équations différentielles et aux différences dans le champ complexe

Abstract

Dans la première partie de cette thèse nous nous intéressons à la résolution formelle des équations différentielles linéaires dans le champ complexe. Nous présentons d’abord u logiciel qui permet d’obtenir les solutions formelles d’équations différentielles linéaires d’ordre 2 au voisinage de tous les points singuliers. Nous montrons ensuite que l’algorithme de Newton, pour le calcul des solutions formelles d’équations différentielles d’ordre quelconque au voisinage de points singuliers, peut être modifié de façon à simplifier les calculs et à éviter certaines difficultés techniques. La deuxième partie est consacrée à l’étude des systèmes d’équations aux différences linéaires dans le champ complexe. Nous proposons d’abord un algorithme qui permet d’obtenir une base de solutions asymptotiques d’une équation récurrente linéaire à coefficients polynomiaux. Nous nous intéressons ensuite à l’étude des systèmes linéaires aux différences à coefficients séries de factorielles. Nous développons des algorithmes permettant de caractériser la singularité et de construire des transformations linéaires qui nous ramènent à des systèmes que l’on sait résoudre.