Étude de la structure de certains anneaux non commutatifs

Abstract

La structure des anneaux non commutatifs via le comportement de certaines applications additives (dérivations, dérivations généralisées, homomorphismes,…) sur les anneaux en considération ou localement sur des sous-ensembles, appropriés, des anneaux a été l’objet de plusieurs études durant ces 60 dernières années surtout après le fameux résultat de Posner en 1957. Les contributions présentées dans le cadre de cette thèse sont motivées par ces travaux de recherche. Ainsi on a élaboré des identités différentielles faisant intervenir des dérivations ou des dérivations généralisées permettant de déterminer la structure de certains anneaux non commutatifs.

Après le rappel de quelques notions de base, des définitions préliminaires et des résultats importants, qui sont utilisés par la suite, nous avons étudié la commutativité d’un anneau premier sans 2-torsion à involution de deuxième espèce admettant des dérivations généralisées satisfaisant certaines identités algébriques spécifiques. De plus, dans certaines situations, on a prouvé que l’existence de telles dérivations généralisées est impossible. Ensuite nous avons introduit de nouvelles notions permettant ainsi la classifications de certaines dérivations généralisées. Ceci nous a accordé des résultats concernant des propriétés algébriques de certains anneaux : la commutativité et dans certains cas la forme exacte des dérivations généralisées. En outre, quelques résultats caractérisant la commutativité des anneaux premiers ont été généralisés. À la fin, nous avons étudié le centre d’un anneau premier. Ainsi, d'autres caractérisations du centre ont été données en faisant intervenir des applications additives. Notre contribution tout au long de cette thèse, a été validée par des contre-exemples justifiant la nécessité des conditions imposées.