La contraction d'équations diophantiennes

Abstract

Etant données m fonctions fi i = 1, …, m définies sur in ensemble arbitraire X de IRⁿ, et à valeurs entières, les méthodes qui consistent à remplacer les m équations diophantiennes fi(x) = 0 i = 1, …, m, x ∈ X (1) par une seule équation mΣi=1 λifi (x) = 0,λi ∈Z*̷̷ , x Σ X (2) dont les solutions sont identiques à celles de (1) se divisent en deux classes (chapitres 1) : a) Les méthodes de 2-concentrations : l’équation (2) est construite par une cascade de combinaisons linéaires des m équations prises deux à deux. Une étude géométrique a permis de faire une comparaison globale de ces méthodes et d’améliorer les meilleurs d’entres-elles (chapitres 2). b) Les méthodes de G-contraction, pour lesquelles les entiers λi, i = 1, …, m, sont déterminés globalement par la construction d’une matrice C de Z (m,m-1) qui satisfait les deux conditions : – les colonnes de C forment une base de l’espace {z ∈ Zm | mΣi=1 λizi = 0} – l’ensemble {(k,x) x ∈ Z*m ⁻¹ x X | fi(x) = cik i = 1, …, m} est vide. – De nouveaux types de matrices C sont proposés, permettant d’améliorer les résultats obtenus dans la littérature (chapitre 3). Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés aux études algorithmiques basées sur les résultats des chapitres précédents et aux différentes expériences numériques réalisées sur CII-HB IRIS 80.