New Families of Linear Error-Block Codes

Abstract

Les codes linéaires en blocs d'erreurs (codes LEB) sont une généralisation des codes correcteurs. Ils ont été introduits en 2006 par l'équipe de Feng, pour généraliser les codes classiques puisqu'ils présentent plus d'avantages en matière d'applications en intégration numérique voir Feng/al. Cette thèse est une étude de certaines familles de codes LEB. Notamment, les codes LEB parfaits, les codes LEB cycliques, les codes LEB simplexes/les codes LEB de Hamming, ainsi que le produit tensoriel de codes. Dans un premier temps nous vérifions l'existence des familles de codes LEB parfaits. Pour atteindre ce but, nous construisons un algorithme qui génère des codes LEB vérifiant la borne de Hamming généralisée par l'équipe de Feng,/nous déterminons ensuite les paramètres qui assurent l'existence des codes LEB parfaits de distance minimale 3 (au sens de la π-métrique). Dans un deuxième temps, on donne une étude algébrique des codes LEB constacycliques, puis on déduit la structure des codes cycliques/négacycliques,/nous décrivons en détail un algorithme de décodage pour ces codes. En troisième lieu, nous généralisons quelques techniques de modification des codes LEB. En quatrième lieu, nous définissons les codes LEB de Hamming utilisant leur matrice de contrôle/on établit qu'ils sont parfaits. De plus nous avons construit les codes LEB simplexes,/nous avons montré qu'un code LEB est simplex si/seulement s'il est le dual d'un code de Hamming LEB. On finit par donner sa formule des polynômes énnumérateurs de poids pour les codes LEB simplex/de Hamming, ainsi que celui des codes LEB générés par la somme directe de deux codes LEB. En dernier lieu, nous avons étudié le produit tensoriel de codes LEB dans le but de vérifier que le produit tensoriel de deux codes classiques génère un code LEB ou génère une structure différente.